離散的手法による場と時空のダイナミクス2025

量子エンタングルメントは古典論にはない量子力学に特有の現象であり、量子情報や量子コンピュータ分野をはじめ、素粒子論分野でも重要な役割を果たしている。 量子エンタングルメントの強さを定量化する指標としてエンタングルメントエントロピー(EE)やエンタングルメントネガティビティー(EN)があり、 これは量子多体系の相転移の指標として重要な役割を果たすと考えられている。 本講演では、量子エンタングルメントの数値解析手法として、テンソルネットワーク(TN)法を用いた手法を紹介する。 TN法は符号問題なしに分配関数や期待値といった経路積分の数値計算が可能な手法であり、EEやENの計算に必要不可欠な縮約密度行列の評価も可能である。 はじめにTN法の基礎を説明し、次にTN法を用いた量子エンタングルメントの数値解析の実例として、 2次元イジングモデルとXYモデルにおけるEEや、2次元イジングモデルにおけるENの数値計算結果を紹介する。 本講演の内容は、金沢大の早崎氏、明治学院大の加堂氏、金沢大の武田氏との共同研究に基づいている。

半単純リー代数全体を含む, ある種のLie代数に対応するLie-Poisson代数の行列正則化を提唱する. Lie-Poisson代数は, 対応するリー代数のカシミア多項式で定義される代数多様体上の関数環に対応するLie代数の構造を持つポアソン構造が付与されたものとしてあたえられる. したがって, Lie-Poisson代数の行列正則化とは, カシミア多項式で定義された代数多様体の行列正則化に対応している． 代数多様体上の関数は多様体の定義方程式が生成するイデアル割った同値類で与えられる． その同値類から行列代数への量子化の写像は，イデアルから定義されるグレブナー基底での余りをもとめ，リー代数の基底で置き換えることで実現される

格子正則化は場の量子論を非摂動的に定式化する強力な枠組みである。 この定式化のもとで理論を第一原理的に解析する格子数値計算は、 素粒子理論をはじめ幅広い分野の非自明な性質を明らかにしてきた。 この大きな潮流の中で、本発表では、’t Hooft loopを用いて4次元Yang-Mills理論の 閉じ込め真空を特徴づけるWilson-’t Hooft分類の非摂動的な検証、 またlarge N極限での有限温度ゲージ理論に出現する部分閉じ込め現象の 近年の様々な応用の2つのテーマについて議論する。

ランダム結合テンソルネットワークは pregeometricな仮定をおかない量子重力やランダムネットワーク上の統計系などの文脈において動機を持つ. 固定されたネットワークでないため通常の意味での繰り込み群が存在しないように思われるが, 実際には繰り込み群的なフローが存在することを示す. そのフローは正準テンソル模型において正の宇宙項をとった場合のハミルトニアンベクターフローによって与えられ, 相図と完全に一致する. 場の量子論におけるa-やc-関数に類似するフローに沿って減少する関数の存在を示す.厳密な意味ではcyclic flowは存在しないが, 固定点近傍で無限小の跳躍を許すと存在することを示す.

同サイズのn次元球をn次元空間に最も効率よく詰めるにはどうしたらよいか？この問題は球充填問題として 古くから知られる難問であり、n=1,2,3,8,24の場合にしか解けていない。n=8の解をなすE_8格子は、 数学の様々な場面に現れるほか、弦理論、あるいは情報理論における誤り訂正符号とも密接な関わりがある。 本講演前半ではこれらのつながりについてレビューする。後半ではJacobi形式とは何か、 場の理論の研究において何故Jacobi形式に着目するのかを説明した後、長らく未解決であった、 E_8格子の自己同型群の下で不変なJacobi形式のなす環の構造を決定した 最近の結果(arXiv:2410.12907)を紹介する。

離散空間である任意のグラフ上でフェルミオンを構築する方法について紹介する。 グラフ上のフェルミオンに対するDirac演算子は、パラメータによって変形された接続行列を用いて表現され、 この模型の分配関数はグラフ上のゼータ関数の逆数によって与えられる。 このグラフ上のゼータ関数が持つ物理的な意味についても議論し、 グラフ上の可能なフェルミオンのサイクル(状態)を生成する母関数を与えていることを示す。 また、周期境界条件を持つ格子グラフ上のフェルミオンの性質を、 被覆グラフとArtin-IharaのL関数の概念を用いて議論し、 この模型においてフェルミオン・ダブリングの問題が回避されていることを示す。 さらに、この模型の分配関数は、グラフ上のサイクルに関する巻きつき数を導入することで、 同じグラフ上のIsing模型の分配関数と関連していることも指摘する。 (https://arxiv.org/abs/2501.08803 の結果に基づいた内容。)

FKM模型は、グラフ上に拡張された格子ゲージ理論の一種で、 その分配関数がグラフゼータ関数で表されると共に、強結合／弱結合の双対性、 および、large NにおいてGWW相転移を示すという著しい特徴を持っている。 今回のトークでは、これらの特性が、理論の双対表示であるヤング図の統計という立場から 理解できることを説明する。

TBA

符号問題に対するレフシェッツ・シンブル法の原理と困難を紹介した後、「世界体積ハイブリッドモンテカルロ法」の基礎と応用を解説する。とくに
・群多様体/ゲージ理論
・ハバード模型
・量子多体系の実時間ダイナミクス
への適用について詳しく解説する。また、符号問題に関する学術的流れの今後の展望を述べる。

超弦理論や場の量子論に関する最も重要な問題の研究には、しばしば「符号問題」 が現れ、モンテカルロ法の適用を困難にすることが知られている。 例えば、(9+1)次元の 超弦理論から(3+1)次元の膨張時空が如何にして現れるか、量子トンネル効果や 量子デコヒーレンスといった量子論的時間発展に関わる問題、 無境界仮説などに基づく 量子宇宙論の問題、トポロジカルθ項を含むゲージ理論の問題など、枚挙にいとまがない。 これらすべての問題が、レフシェッツ・シンブル法によって明らかにできると期待される。 本講演では特に、量子論的時間発展と量子宇宙論における成果を紹介し、今後の展望を述べたい。

Riemann対称空間のHaar測度に従って分布する行列の確率集団は、 ランダム行列模型の原型としてDysonにより導入された。 円周型U(N)アンサンブル(CUE_N)の有用性は量子カオス系の普遍的な 準位統計への正準的な有限サイズ補正を与え得ることにあり、 その特性多項式のモーメントは有限範囲でのRiemann ζ関数のそれと本質的に一致する。 隣接する3つのエネルギー準位の間隔の比の分布（ギャップ比分布）P(r)は 状態密度によるアンフォールディングを要しないため、 近年の量子カオス系の研究において重用されている。本発表ではTracy-Widom型偏微分方程式系を通じて CUE_Nのギャップ比分布P_N(r)を決定する。 P_N(r)における普遍的なサインカーネル極限(N→∞)に対する有限N補正の主要項は、 非自明な相殺のためにO(1/N^4)となることが見出された。 この知見は量子カオス系のエネルギースペクトルからより精緻な有限サイズ補正を抽出できる 可能性を示唆するとともに、ζ関数の隣接する3つの零点{1/2+iγ_n}の 間隔の比の分布のサインカーネル極限からのずれが(log(γ/2π))^{-3}で スケールする理由を説明する。

超弦理論の摂動論はPolyakovのEuclid型経路積分によるS行列で構成でき、場の理論が再現されることがよく理解されている。 その一方で、Minkowski型の超弦理論はまだ不明な点が残っており、場の理論を因果律などの性質を含めて再現するかについてもよく分かっていない。 本講演では、摂動的超弦理論の経路積分を議論し、Euclid型理論の経路積分に等価なMinkowski型理論が弦的な因果律を実現していることを解説する。 また、この理論の行列正則化で得られる、因果律的な性質を有している行列模型について議論する。

格子理論のWilson Dirac演算子の分類にK理論を用いることで、 さまざまな指数を網羅的に定式化できることを示す。 Ginsparg-Wilson関係式を使うoverlap Dirac 演算子の指数が、 偶数次元の平坦なトーラス上のものに限定されるのに対し、
1) 境界を持つ場合のAtiyah-Patodi-Singer指数も可能であること、
2) 境界は曲がっていてもよく、重力の効果も取り入れられること、
3) 任意の次元で定式化できること,
4) mod-2 指数も自然な拡張で定義できること、
が新しい点である。 本発表は、青木匠門氏、古田幹雄氏、松尾信一郎氏、大野木哲也氏、山口哲氏との共同研究に基づく。

TBA

離散的な確率過程に基づく新たな量子化の方法を提案する。 本手法は、ランジュバン方程式を用いたParisi–Wuの確率過程量子化と深い関連を持ちながらも、 理論的には独立した量子化の枠組みを与えている点に特徴がある。 特に、連続的な確率微分方程式ではなく、離散的な確率過程に基づくことで、 格子場の理論の大規模シミュレーションへの応用にも適している。 講演では、0次元のトイ模型を例として取りあげながら、本手法の枠組みとその理論的背景、 さらに既存の手法との違いや応用可能性について議論する。 本研究は、加藤光裕氏、坂本眞人氏、宗博人氏らとの共同研究 （arXiv:2501.14260）とその後の議論に基づいている。

2次元因果的動的単体分割の非摂動的ダイナミクスを決定する方程式について議論する。

In this talk, we investigate the order-disorder phase transition of the Ising model defined on a self-similar lattice with a fractal structure. Specifically, we focus on the Sierpiński carpet with Hausdorff dimension log₃8 ≈ 1.8927, and perform a detailed numerical analysis using the finite-size scaling method and the higher-order tensor renormalization group (HOTRG) approach. We fully reproduce the results of previous studies, confirming the existence of a continuous phase transition at finite temperature on this fractal lattice. The critical exponents are discussed through finite-size scaling analysis by precisely evaluating the dependence on lattice size and temperature. We also discuss the validity of the hyperscaling relation, assuming the fractal (Hausdorff) dimension as the effective spatial dimension, and examine its consistency with standard scaling laws. Furthermore, to accurately compute spontaneous magnetization per site as the first derivative of the free energy with respect to an external field, we introduce automatic differentiation techniques, enabling efficient and precise numerical evaluation.

We report several recent developments of gauge covariant link formulation of twisted supersymmetry on a lattice. In particular, based on a recent study arXiv:2412.19666 [hep-lat], we look into the super-covariant formulation of N=D=4 and N=4 D=5 twisted super Yang-Mills on a lattice. and explicitly see how the exact SUSY invariance w.r.t. all the supercharges are realized on a lattice. We also explain an underlying group and algebraic structure behind the link formulation. Furthermore, based on another paper arXiv:2502.16410 [hep-th], we will mention a possible non(anti)commutative superspace formulation which may accommodate the above mentioned group and algebraic structure of the link formulation.